O observador distraído

“ TEORIA DOS NÚMEROS - EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS Everton Alves 04/04/2011 às 11h 38min Exercícios - Matemática Informações: (a) ax + by = c tem solução se e somente s c for múltiplo do mdc(a, b). (b) se x0 e y0 é uma solução particular de ax + by = c, então x = x0 + (b/d)t e y = y0 - (a/d)t, com t um inteiro qualquer e d = mdc(a, b), são soluções de ax + by = c. 01 – Determinar todas as soluções inteiras das seguintes equações diofantinas lineares: Neste item resolveremos apenas os das letras (a) e (d) pois o processo de resolução é repetitivo. a) 56x + 72y = 40 Solução: Calculando o mdc(72, 56) 72 = 56.1 + 16 56 = 16.3 + 8 16 = 8.2 + 0 8 = 56 – 16.3 = 56 – (72 –56.1).3 = 56.4 – 72.3  = 56.(4) + 72(-3) Temos: 40 = 8.5 = 56.(4.8) + 72.(-3.5) = 56.(32) + 72(-15). Solução particular: xo = 32 e yo = -15. Todas as soluções:- x = 32 + (72/8)t = 32 + 9t e y = -15 - (56/8)t = -15 - 7t. Resposta: -x = 32 + 9t e y = -15 – 7t (b) 24x + 138y = 18 Resposta: x = 18 + 23t y = -3 – 4t (c) 221x + 91y = 117 Resposta: x = -18 + 7t e y = 45 – 17t (d) 84x – 438y = 156 Solução: mdc(438, 84) ⇒ 438 = 84.5 + 18; 84 = 18.4 + 12; 18 = 12.1 + 6; 12 = 6.2 + 0 6 = 18 – 12.1 = 18 – (84 – 18.4).1 = 18.5 – 84.1 = (438 – 84.5).5 – 84.1 = 84(-26) + 438(5) = 84(-26) – 438(-5) 156 = 6.26 = 84(-26.26) – 438(-5.26) = 84(-676) – 438(-130) Solução particular: xo = -676 e yo = -130 Soluções: x = -676 + (-438/6)t = -676 + 73t y = -130 – (84/6)t = -130 – 16t. Resposta: -x = -676 - 73t y = -130 – 16t. (e) 48x + 7y = 5 Resposta:- x = -5 + 7t y = 35 – 48t (f) 57x – 99y = 77 Resposta: não tem solução pois mdc(57, 99) = 3 e 31 não é múltiplo de 3 (g) 11x + 30y = 31 Resposta: x = 11 + 30t y = -3 – 11t (h) 27x – 18y = 54 Resposta: x = 2 - 2t y = - 3t (note que x = 2 e y = 0 é solução imediata) (i) 13x – 7y = 21 Resposta: x = -7t y = -3 – 13t ( x = 0 e y = -3 é solução imediata) (j) 44x + 66y = 11 Resposta: não tem solução pois mdc(44, 66) = 22 e 11 não é múltiplo de 22 (k) 21x – 12y = 72 Resposta: x = -4t y = -6 - 7t (x = 0 e y = -6 é solução imediata) (l) 17x + 54y = 8 Resposta: x = 10 + 54t y = -3 – 17t 02 – Determinar todas as soluções inteiras e positivas das seguintes equações diofantinas lineares: (a) 5x – 11y = 29. Solução: Encontrando o mdc 11 = 5.2 + 1 ⇒ mdc (5, 11) = 1. Para 5x – 11y = 1 temos a solução imediata x = -2 e y = -1. Para 5x – 11y = 29, teremos x = -2.29 = - 58 e y = -1.29 = -29 As demais soluções inteiras são das formas x = -58 + (-11/1)t = -58 - 11t e y = -29 – (5/1)t = -29 – 5t. Como as soluções devem ser positivas: - 58 - 11t > 0 ⇒ -11t > 58 ⇒ 11t 0 ⇒ -5t > 29 ⇒ 5t 0 ⇒ t > 168 e 5397 – 32t > 0 ⇒ t 0 (d) 62x + 11y = 788. Resposta: x = 1, y = 66 e x = 12, y = 4. (e) 30x + 17y = 300. Resposta: Não tem soluções positivas. (f) 54x + 21y = 906. Resposta: x = 2, y = 38; x = 9, y = 20; x = 16, y = 2 (g) 123x + 360y = 99. Resposta: Não tem soluções positivas. (h) 158x – 57y = 7. Resposta: x = 17 – 57t, y = 47 – 158t, onde t 0 ⇒ t 0 ⇒ t > 300/11 > 27 e  200 – 7t > 0 ⇒ t 0 e y > 0, resulta -915 + 13t > 0 ⇒ t > 70 e 1220 – 17t > 0 ⇒ t 0 ⇒ x0 –(b/d)t > 0 ⇒ (b/d)t 0 ⇒ t ” - by ellalves.net.br